Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения" (Решение функциональных уравнений, заданных на множестве натуральных чисел )

Путеводитель В МИРЕ НАУКИ для школьников

Ресурсы сайта (Математика)

Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. "Функциональные уравнения"

Содержание

Решение функциональных уравнений, заданных на множестве натуральных чисел

Пример 26. Каждому натуральному числу n сопоставлено целое неотрицательное число f(n) так, что выполнены следующие условия:

a) f(mn) = f(m)+f(n) для любых двух натуральных чисел m и n;

б) f(n) = 0, если последняя цифра в десятичной записи числа n равна 3;

в) f(10) = 0.

Доказать, что f(n) = 0 для всякого натурального числа n.

Решение. Поскольку f(10) = f(5)+f(2) = 0, f(5) і 0, f(2) і 0, то

f(2) = f(5) = 0.

любое натуральное число n можно представить в виде n = 2^k·5^s·b, где (b,10) = 1^*. Другими словами, b = 10m±1 или b = 10m±3. Отсюда b² = 10l±1, и из последнего равенства получаем, что b⁴ = 10q+1. Так как последняя цифра числа 3b⁴ есть 3, то согласно условию б) имеем f(3b⁴) = 0. С другой стороны, из а) получаем 0 = f(3b⁴) = f(3)+4f(b). Следовательно, f(b) = 0 и

f(n) = f(2^k·5^s·b) = kf(2)+sf(5)+f(b) = 0.

Пример 27. Найти функцию f, определённую на множестве натурадьных чисел, принимающую только положительные значения и удовлетворяющую следуюшим двум условиям:

а) f(4) = 4;

б) 1
f(1)·f(2)
+ 1
f(2)·f(3)
+ . . . + 1
f(n)·f(n+1)
= f(n)
f(n+1)
для всех натуральных n.

Решение. Используя условие б), последовательно получаем:

f(1)·f(2)

f(1)

f(2)

, f ²(1) = 1,

т.е. f(1) = 1;

f(2)

f(2)·f(3)

f(2)

f(3)

т.е.

f(3)+1 = f ²(2);

(1)

f(2)

f(2)·f(3)

f(3)·f(4)

f(3)

f(4)

f(2)

f(3)

4f(3)

f(3)

(2)

(здесь использовано и условие а)). Равенства (1) и (2) позволяют найти f(2) и f(3). Имеем f(2) = 2, f(3) = 3.

Докажем, что f(n) = n для любого n = 1, 2, . . . Во-первых, данное равенство верно для n = 1, 2, 3, 4. Далее предположим, что оно верно для некоторого k і 4. Тогда